Pitágoras, los pitagóricos y muchos triángulos

Uno de los teoremas más importantes en la historia de las matemáticas, si no el más, es el Teorema de Pitágoras, atribuido a uno de los más importantes matemáticos de la historia, Pitágoras, fundador de toda una escuela de pensamiento, los pitagóricos.

¿Quién fue Pitágoras?

Pitágoras de Samos fue un filósofo que vivió sobre el siglo VI a.C. Nació en Samos, una población situada en la costa de la actual Turquía. En esa época Samos era gobernada por un tirano conocido como Polícrates. Durante su juventud conoció probabablemente a Thales, otro brillante filósofo y matemático (en otra ocasión habría que hablar del Teorema de Thales), que le recomendó que viajase a Egipto.

Este viaje a Egipto parece que fue tremendamente instructivo para el matemático, que adquirió gran parte de su conocimiento y filosofía en su estancia. Posteriormente, y alrededor del año 530 a.C., viajó a Croton, una población en el sur de Italia, donde fundó una escuela de conocimiento, una secta para algunos, conocida como los pitagóricos.

Parece que esto no resultó del agrado de los gobernantes, ya que fue expulsado de la ciudad, lo que le obligó a seguir viajando por el mundo.

Los pitagóricos: nerds de la antigüedad

El colectivo de los pitagóricos pervivió por muchos años, con unas reglas muy llamativas, como por ejemplo no comer grano, no recoger lo que se ha caido, no tocar un gallo blanco, no agitar el fuego con hierro, no partir el pan o no comer el corazón de un animal. También practicaban el ascetismo y el vegetarianismo. Unos nerds de la época antigua, vamos.

De acuerdo con las enseñanzas de Pitágoras, "el universo y el hombre, el macrocosmos y el microcosmos, son construidos por las mismas proporciones armónicas". Pitágoras creía que todos los seres vivos tenían parentesco, la inmortalidad del alma y en las vidas anteriores (el mismo se creía la reencarnación de un gran guerrero llamado Euphorbus).

Pero lo que aquí más nos interesa es el popular teorema de Pitágoras. ¿Cuál fue su origen? Probablemente el interés por las proporciones armónicas. El filósofo observó que existía una relación entre la longitud de una cuerda tensa y el sonido que producía cuando vibraba. Por ejemplo, observó que dos cuerdas separadas por una octava (una daba el Do bajo, mientras que la otra daba el Do agudo), tenían una relación de longitudes 2 a uno. La que daba el Do bajo tenía el doble de longitud que la que tenía el Do agudo.

Esto le resultó muy curioso, y siguió experimentando con las notas musicales y la longitud de las cuerdas. De este modo comprobó que cuando dos notas diferían en una "quinta" (es decir, una da un Do y la otra un Sol), la relación entre las longitudes es 3 a 2. Una de las cuerdas era una vez y media más larga que la otra. Y lo que es más curioso, cuando las relaciones entre las longitudes no eran simples, como 25 a 17, la combinación de sonidos era desagradable.

¿Por qué podría suceder esto? Pitágoras encontró un sentido místico a todo esto, y empezó a pensar en los números como entidades en sí mismas, es decir, empezó a pensar en el número dos, sin más, no en dos casas o dos sandalias, si no que en el número dos sin más.

Al sabio se le ocurrió empezar a representar los números como conjuntos de puntos. Así, el número 1 sería un único punto, 2 dos puntos... y le llamó la atención que con ciertos números podían ser representados por triángulos equiláteros.

Con un único punto podemos trazar en sus bordes un triángulo equilátero, si ponemos tres puntos en los vértices del mismo tendremos otro, igua sucede con el 6, con el 10, con el 15, con el 21... a todos estos números los llamó números triangulares.

Del mismo modo, observó que con otros números, podríamos hacer cuadrados. Estos números eran el 1, el 4, el 9, el 16, ¿veis ya por donde voy?

Pitágoras, o tal vez alguno de sus discípulos (pues sobre esto hay dudas), observaron también la relación entre estos números, y cuál no fue su sorpresa, ¡se podían obtener mediante unas sumas muy simples y muy evidentes! Dejadme que os ilustre. He aquí los números triangulares:

1

3 = 1 + 2

6 = 1 + 2 + 3

10 = 1 + 2 + 3 + 4

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

Fantástico, ¿verdad? Pero... ¿y los números cuadrados? ¿Existiría alguna "mágica" relación entre ellos? Pitágoras descubrió que también se podían obtener de una manera regular, en este caso sumando los números conocidos como "impares", por ejempo:

1

4 = 1 + 3

9 = 1 + 3 + 5

16 = 1 + 3 + 5 + 7

Vaya, o sea, que estos números parecían seguir unas normas bien definidas. Qué bien. Qué bonito es descubrir la regularidad en las matemáticas.

También observó que los cuadrados también se podrían obtener sumando un número tantas veces como indicaba:

1 = 1

2 + 2 = 4

3 + 3 + 3 = 9

4 + 4 + 4 +4 = 16

Es decir, cogiendo una vez el número 1, dos veces el número dos, tres veces el número tres... y así.

Los triángulos rectángulos

El interés de pitágoras por los triángulos ya debe ser más que evidente. Fijémonos ahora en su interés en uno de los triángulos que manifiestan un gran orden: el triángulo rectángulo. Este triángulo es conocido por tener dos lados perpendiculares, esto es, formando un ángulo recto, vamos, como si fuese una estaca clavada en el suelo, la estaca forma un ángulo recto con el suelo. ¿sabéis de que hablo, no? Seguro que sí.

Imaginad a Pitágoras jugando en la arena de la playa con sus triángulos rectángulos. Se le ocurre trazar dos lados en la arena de la playa con una rama, uno de tres unidades de longitud, y el otro de cuatro unidades de longitud, y los une con otra línea. Tal vez para él, una unidad de longitud no era más que una concha de molusco. Dos unidades, dos veces la concha, tres unidades, tres veces...

Cuál no sería su sorpresa al descubrir que la longitud de la tercera línea era 5 conchas. Es decir, esto no es habitual. Cuando trazaba un lado con una longitud de una unidad y el otro de dos unidades de longitud, no parecía que ningún número "natural" surgiese en el lado más largo, conocido como hipotenusa.

Qué curioso. Sería de esperar que tuviese una longitud igual a tres. A estas alturas está claro que Pitágoras buscaba una relación entre estos números.

Lo que era más extraño, es que esto casi nunca sucedía, si coges por ejemplo, lados de dos y tres unidades de longitud, el tercer lado no mide cuatro. Vaya fastidio. Y si coges lados de cinco y seis, tampoco. Pero ¡atención! si te fijas en los cuadrados de de los números, es decir, en lugar de 3 y 4, coges 9 y 16 , ¡su suma da el cuadrado de cinco, 25!

Ya podéis imaginar a Pitágoras bailando de alegría en la playa, ¡había una regularidad!

Es decir, si sumaba el cuadrado de los lados de menor longitud, ¡obtenía el cuadrado del lado de mayor longitud!

O dicho de otra manera: el cuadrado de la suma de los catetos (lados de menor longitud), es igual al cuadrado del lado de mayor longitud (hipotenusa).


Imaginad su alegría cuando descubrió que se cumplía para todos los triángulos rectángulos. Y ese fue el principio de una de las reglas matemáticas más importantes de todos los tiempos: una regla que se puede demostrar de otras muchas manera, por ejemplo, con agua.

No por nada Pitágoras es considerado uno de los más grandes matemáticos de la humanidad (si bien ha sido cuestionado por otros grandes científicos de la actualidad, como ni más ni menos que el famosísimo Stephen Hawking).

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