Hipercubo, visualizando la cuarta dimensión

Con el objetivo de elegir un tema para mi siguiente entrada del Cuaderno de Cultura Científica, justo la que estás leyendo en estos momentos, me puse a revisar algunos antiguos materiales que tenía guardados en mi ordenador. Entre los cuales encontré algunas imágenes de cuadros de una artista francesa, Sylvie Donmoyer, que utiliza las matemáticas como elementos principales de muchas de sus obras, imitando a los bodegones renacentistas: poliedros, construcciones de papiroflexia, cubos, cuadrados mágicos, espirales, instrumentos de navegación o fractales, entre otros.


Uno de sus cuadros, que la artista presentó en la exposición de arte matemático del congreso anual de la American Mathematical Society (AMS) Joint Mathematics Meeting, correspondiente al año 2013, es el siguiente:



Esta imagen representa una especie de Juego de la oca matemático. Recordemos que el Juego de la oca es un juego para jugar entre dos o más jugadores, cada uno de los cuales tiene una ficha que debe de mover a lo largo del tablero, formado por 62 casillas y la casilla final “el jardín de la oca”, según las puntuaciones que va sacando con su dado y en función de las condiciones impuestas por las casillas especiales (la oca, el puente, los dados, el laberinto, la cárcel y la calavera/muerte).

Para empezar el juego del cuadro de Sylvie Donmoyer tiene forma de espiral de Arquímedes y además, las ilustraciones de cada una de las 62 casillas están relacionadas con la historia de las matemáticas, y colocadas en “orden cronológico”. Entre estas ilustraciones encontramos el hueso de Ishango, el teorema de Pitágoras, los cinco sólidos platónicos, los anillos de borromeo, el astrolabio, el triángulo de Pascal, la astroide, la banda de Moebius, el copo de nieve de Koch, la cúpula geodésica, la teselación de Penrose o el grupo de Lie E8.

Pero la ilustración en la que quiero que os fijéis, y de la que voy a hablaros hoy, es la imagen de la casilla 40. Es la proyección en perspectiva del hipercubo, el análogo en dimensión 4 al cubo, sobre el espacio tridimensional.



No quiero que discutamos aquí sobre qué es la cuarta dimensión, y en especial la cuarta dimensión espacial, ni tampoco la existencia real de un espacio tetradimensional, simplemente quiero que entendamos la imagen anterior, y más concretamente, que comprendamos que es una proyección del hipercubo, del espacio de dimensión 4, sobre el espacio tridimensional.

El hipercubo es la generalización a dimensión 4 del cubo tridimensional. Intentemos entenderlo intuitivamente, para ello miremos la siguiente imagen. Podemos pensar en un punto como un 0-cubo, si lo movemos en una cierta dirección se genera un segmento, que será un 1-cubo, o cubo en dimensión 1. Si ahora movemos el segmento en una dirección perpendicular se genera un cuadrado del plano, que es nuestro 2-cubo, o cubo de dimensión 2. Desplazando el cuadrado en una dirección perpendicular se obtiene un 3-cubo, que es lo que conocemos como el cubo, sí el cubo normal de la tercera dimensión. Finalmente, si desplazáramos el cubo en una dirección perpendicular, aunque aquí es donde empezamos a tener problemas para entender qué sería eso de la dirección perpendicular puesto que el espacio que percibimos es tridimensional, pero echémosle imaginación al menos, obtendríamos el 4-cubo, hipercubo o teseracto, que como ya no lo podemos pintar en el espacio de dimensión cuatro, lo representamos por ahora como aparece en la imagen.





Por supuesto, todo esto lo podríamos contar con un poco más de rigor matemático, aunque no es el objetivo de esta entrada. Por ejemplo, podríamos contar que los matemáticos consideramos el espacio coordenado de dimensión n como el formado por las n-tuplas de números (x1, …, xn), listas de n números, para cualquiera que sea la dimensión n. Así cada punto del espacio n-dimensional es una n-tupla (x1, …, xn) y el espacio coordenado n-dimensional es el conjunto de todas las n-tuplas. Esta es la generalización de lo que ocurre en el espacio de dimensión 3, donde necesitamos tres coordenadas espaciales para determinar la posición de un punto cualquiera del espacio (las posiciones en las direcciones, izquierda-derecha, adelante-atrás, arriba-abajo). En el lenguaje matemático, el espacio coordenado n-dimensional es

Rn = {(x1, …, xn) : x1, …, xn \in R}

Y dentro de ese espacio el n-cubo es

{(x1, …, xn) \in Rn : 0 \leq x1, …, xn\leq 1}

Pero dejemos un poco de lado estas ideas matemáticas, ya que nos basta la idea intuitiva para entender la imagen anterior.

Volvamos al objetivo de esta entrada, que es entender la imagen de arriba, la de la casilla 40 del Juego de la oca matemático, o de forma más general, visualizar ese “sencillo” objeto geométrico de la “extraña” cuarta dimensión que es el hipercubo.

Uno de los métodos de visualización de objetos tetradimensionales, y en particular, el teseracto, es la utilización de proyecciones matemáticas del espacio de dimensión 4 al espacio de dimensión 3, que es nuestro espacio visual, tanto físico como mental, y por lo tanto, ahí sí podemos visualizar el resultado.

En esta entrada nos vamos a centrar en dos proyecciones naturales de nuestra vida cotidiana, como son la proyección ortogonal, que es la que percibimos por ejemplo en las sombras que genera la luz del sol, “una luz muy lejana, una luz en el infinito”, y la proyección en perspectiva, que serían las sombras que genera una luz cercana, una lámpara o una linterna.

Y más aún, para entender estas proyecciones del espacio de dimensión 4 en el espacio de dimensión 3, vamos a utilizar la analogía dimensional, es decir, vamos fijar nuestra atención en las proyecciones análogas del espacio de dimensión 3 en el espacio de dimensión 2, que esas sí las podemos visualizar y comprender fácilmente.



La proyección ortogonal es una aplicación del espacio coordenado n dimensional, en un subespacio suyo de dimensión n – 1 (por ejemplo, del espacio tridimensional en un plano, o del espacio de dimensión cuatro en un subespacio tridimensional), que consiste en proyectar sobre este según una cierta dirección. Es decir, todos los puntos que estén sobre una misma recta con la dirección dada se proyectarán en el punto del subespacio (n – 1)-dimensional que se interseca con dicha recta. Si consideramos el espacio tridimensional, el subespacio sobre el que proyectamos es un plano.

Podemos pensar en la imagen de un objeto mediante la proyección ortogonal como la “sombra” del objeto que produce una fuente de rayos de luz paralelos –en la dirección de la proyección—sobre el plano de proyección (como en la imagen anterior). Por ejemplo, como el sol está tan lejos de la Tierra, los rayos del sol pueden considerarse que son paralelos y caen sobre la Tierra según una cierta dirección, por lo tanto las sombras que producen los objetos son proyecciones ortogonales de estos. Por supuesto, si cambiamos la dirección de proyección obtendremos diferentes imágenes planas, sombras, del mismo objeto.

Consideremos ahora un cubo tridimensional y proyectémoslo sobre un plano. Para visualizar mejor la proyección, pensemos que tenemos un armazón cúbico, es decir, unas varillas que representan los segmentos unidos del cubo y que me muestran la estructura del mismo. Proyectando desde diferentes direcciones se obtienen las siguientes imágenes.



Observemos que la última imagen es la que solemos utilizar para dibujar un cubo, pero no es la imagen que nosotros vemos del cubo, no es una imagen en perspectiva.

Si ahora proyectamos ortogonalmente el hipercubo, de dimensión 4 (más concretamente su armazón) sobre el espacio de dimensión 3, se obtiene la figura tridimensional que aparece en la siguiente imagen (que sería una imagen del tipo d anterior).



O incluso, si proyectamos ahora este objeto tridimensional que hemos obtenido mediante la proyección ortogonal del hipercubo, sobre el plano (para tener una imagen en papel o en el ordenador), se obtiene una imagen plana como la que habíamos mostrado al principio para representar intuitivamente al hipercubo.



Además, si se elige convenientemente la dirección de proyección se obtiene una variación de la anterior proyección plana, que tiene simatría, tanto rotacional como especular.



El mundo del arte, y de la cultura en general, se ha interesado desde principios del siglo XX por todo lo que rodea a la cuarta dimensión (puede leerse sobre esta cuestión en mi libro La cuarta dimensión, ¿es nuestro universo la sombra de otro?), así como por la visualización del teseracto. A continuación, mostraremos la presencia de las proyecciones ortogonales, tridimensional y plana, del hipercubo, en la obra de algunos artistas.

Por ejemplo, el escultor norteamericano Peter Foraski (1927-2009) realizó en el año 1967 una escultura en aluminio sobre la proyección ortogonal tridimensional del hipercubo.



Los objetos que surgen de la geometría también suelen ser utilizados en el diseño de joyas, como el siguiente colgante con forma de hipercubo, que diseñó la escultora norteamericana Bathsheba Grossman, algunas de cuyas esculturas se han podido ver en series como Numb3rs o Heroes. Hace unos años incluimos una pequeña exposición virtual en divulgamat con algunas esculturas de Bathsheba, aquí.



También en pintura encontramos ejemplos. El artista norteamericano Tony Robbin, autor de los libros Fourfield : computers, art & the 4th dimension (1992) y Shadows of reality : the fourth dimension in relativity, cubism, and modern thought (2006), y uno de los pioneros de la visualización por ordenador de la cuarta dimensión, utiliza imágenes derivadas de la visualización de la cuarta dimensión, y del hipercubo, en sus obras.



En España, los artistas que a finales de los años 60 y principios de los 70 estuvieron en el Centro de Cálculo de la Universidad de Madrid, se interesaron por la ciencia y la tecnología, y fueron pioneros en el uso de la informática en la creación artística. Muchos de ellos se interesaron por las geometrías multidimensionales, como el artista valenciano José María Yturralde, uno de los máximos exponentes de la abstracción geométrica en España, o la artista madrileña Elena Asins, que en 2011 recibió el Premio Nacional de Artes Plásticas.

Varias son las obras de Yturralde relacionadas con las geometrías multidimensionales. Si entramos en su página web [www.yturralde.org], entre la muestra de obras de sus diferentes etapas nos encontramos que en la etapa en la que estuvo en el Centro de Estudios Visuales Avanzados del MIT (Instituto Tecnológico de Massachussets), con el proyecto “Four dimensional structures” (1975-76), Yturralde ha incluido un par de estudios de la proyección ortogonal del hipercubo.



Y en la etapa de las estructuras volantes (1975-1990), a la que pertenece el famoso despliegue del hipercubo (véase en su página web), ha incluido un estudio para una estructura volante basada en la proyección ortogonal del hipercubo.



La siguiente obra de Elena Asins, al parecer de su etapa inicial, también se basa en la imagen plana de la proyección ortogonal del teseracto.



Las imágenes anteriores que hemos obtenido del cubo y del hipercubo han sido “sombras” producidas por “rayos de luz” paralelos. Sin embargo, ahora vamos a considerar la “sombra” que genera un haz de luz que emana de un punto, el foco de luz, o también la imagen que capta nuestro ojo o una cámara fotográfica. A la correspondiente proyección se la denomina proyección en perspectiva. Esta es la aplicación del espacio coordenado n-dimensional, en un subespacio suyo de dimensión (n – 1), que consiste en proyectar desde el foco, es decir, todos los puntos que estén sobre una misma recta, de las que pasan por el punto focal, se proyectarán en el punto del subespacio (n – 1)-dimensional que es la intersección con dicha recta.



Si ahora proyectamos un cubo tridimensional mediante la proyección en perspectiva a partir de tres focos exteriores al cubo distintos, podremos obtener las siguientes imágenes.


Como vemos en estas imágenes, la perspectiva no preserva el paralelismo. Para esta proyección las líneas paralelas tendrán como imagen líneas paralelas o líneas que convergen a un punto del “infinito” (llamado punto de desaparición o punto de fuga). Como vemos en la imagen, para un cubo, que tiene tres conjuntos de líneas paralelas –los lados–, su imagen mediante esta proyección puede tener 1, 2 o 3 puntos de fuga.

Además, para esta proyección, la imagen de las partes más cercanas al punto de proyección aparece más grande que la imagen de las partes más alejadas. Así mismo, en la primera figura de la imagen, el cuadrado exterior representa la cara cuadrada más cercana al foco (o al ojo que mira) mientras que el cuadrado interior es la imagen de la cara más alejada.

De forma análoga a las imágenes en perspectiva del cubo, podemos obtener diferentes proyecciones en perspectiva del hipercubo en nuestro espacio tridimensional, dependiendo de la posición del foco de proyección en el espacio de dimensión 4. La siguiente imagen es la representación del hipercubo análoga a la primera figura de la imagen anterior. Como en el caso tridimensional, el cubo exterior representa la cara cúbica más cercana al foco de proyección, mientras que el cubo interior es la imagen de la cara cúbica más alejada.





Un ejemplo de escultura que utiliza la proyección en perspectiva del teseracto es el Monumento a la constitución (1979), diseñado por el arquitecto Miguel Ángel Ruiz Larrea y que está en los jardines del Museo de Ciencias Naturales de Madrid.



Desde la arquitectura lo encontramos en el Arco de la Defensa de París, construido por el arquitecto danés Otto von Spreckelsen en 1989. Este impresionante edificio de unos 110 metros de lado, y con forma de proyección en perspectiva del hipercubo.



Y para terminar tres interesantes proyectos muy recientes. El primero es una serie de pinturas y esculturas del artista francés Benoit Lemercier. En palabras del artista “La serie Hypercube representa una interpretación geométrica de la cuarta dimensión espacial”. Esta serie de obras constituyen una interesante reflexión, así como un atractivo juego, en el que su autor nos plantea mirar las esculturas desde diferentes puntos de vista. Desde cierto punto de vista estaremos viendo una escultura de la proyección en perspectiva del hipercubo, pero que al movernos descubriremos que no es lo que parece.



El siguiente es un proyecto de luz, sonido y forma del joven artista australiano Kit Wester. Podéis ver el video aquí:



Por otra parte, el joven artista argentino Augusto Esquivel realiza esculturas utilizando miles de botones de colores. En particular, una de sus obras está basada en la proyección en perspectiva del teseracto.



Existen otras técnicas de visualización del teseracto, como son la realización de secciones tridimensionales del hipercubo o su despliegue en dimensión 3, pero ese será un tema para alguna otra futura entrada, y quienes no puedan esperar, pueden leerlo en mi libro La cuarta dimensión.

Bibliografía

1.- Sylvie Donmoyer, Peinture Mathematique

2.- Bridges Conference and Joint Mathematics Meetings, Mathematical Art Galleries, Sylvie Donmoyer

3.- Raúl Ibáñez, La cuarta dimensión, ¿es nuestro universo la sombra de otro?, RBA libros, 2011.

4.- Bathsheba sculture

5.- Página del artista Tony Robbin

6.- Página web del artista José María Yturralde

7.- Página del artista Benoit Lemercier

8.- Página del artista Kit Webster

9.- Página web del artista Augusto Esquivel

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

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